Représentation graphique

1. Représenter les quatre premiers termes de la suite `(u_n)` telle que pour tout entier naturel \(n\)  :  

`u_{n+1}=2u_n`  et \(u_0=\dfrac{1}{4}\) .

2.   Représenter les quatre premiers termes de la suite `(u_n)` telle que pour tout entier naturel  \(n\) :    \(u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n\) et \(u_0=27\) .

3. Quelle fenêtre de la calculatrice doit-on utiliser pour représenter tous les termes de \(u_6\) jusqu'à

\(u_{50}\) de la suite `(u_n)` telle que, pour tout entier naturel \(n\) , \(u_n=3\times1{,}1^n\) ?

4. On a représenté ci-dessous les premiers termes de trois suites géométriques  \((u_n)\) , \((v_n)\)  et  \((w_n)\) . Pour chacune d'elles, préciser le premier terme ainsi que la raison.

Solution

Rappel : la représentation graphique d'une suite est composée du nuage des points de coordonnées \((n~;u_n)\) avec `n` parcourant l'ensemble des entiers naturels.

1. \(u_0=0{,}25\)  ; \(u_1=2×u_0=0{,}5\)  ; \(u_2=2×u_1=1\)  ; \(u_3=2×u_2=2\) .

2.  \(u_0=27\)  ; \(u_1=\dfrac{1}{3}×u_0=9\)  ; \(u_2=\dfrac{1}{3}×u_1=3\)  ; \(u_3=\dfrac{1}{3}×u_2=1\) .

3.  \(u_6=3\times1{,}1^6\simeq 5{,}31\) et \(u_{50}=3\times1{,}1^{50}\simeq 352{,}2\) .

La raison de la suite est égale à 1,1. Il s'agit donc d'une suite strictement croissante. Tous les termes appartiennent à l'intervalle `[u_6;u_{50}]` .

La fenêtre doit donc au moins couvrir les plages 0 - 50 en abscisse et 5 - 353 en ordonnée.

4. Les valeurs des premiers termes se lisent sur l'axe des ordonnées : \(u_0=1\,;\, v_0=4\,;\, w_0=5.\)

Par lecture graphique : \(u_2=4\,;\, v_1=2\,;\, w_1=4.\)

Remarque : il semble que `u_1=2` mais il est préférable d'utiliser la valeur de \(u_2\) , plus facile à lire.

• Pour `(u_n)` : \(q^2=\dfrac{u_2}{u_0}=4\) , donc  `q=2` .
  
• Pour `(v_n)` : \(q=\dfrac{v_1}{v_0}=\dfrac{1}{2}\) .
  
•   Pour `(w_n)` : \(q=\dfrac{w_1}{w_0}=1\) (la suite est constante).